Pangkat Nol, Pangkat Negatif, Bentuk Akar, dan Contoh Soal

KALI ini kita belajar tentang bilangan real tak nol berpangkat nol dan berpangkat bulat negatif. Selanjutnya kita membahas terkait hubungan bilangan pangkat dengan bentuk akar.

Bagaimana definisi bilangan real tak nol berpangkat nol dan berpangkat bulat negatif dengan sifat perpangkatan? Bagaimana hubungan bilangan pangkat dengan bentuk akar? Lebih jelasnya simak pemaparan berikut yang dilansir dari buku Matematika Untuk SMP/MTs Kelas IX dengan penulis Subchan dkk.

1. Bilangan real tidak nol pangkat nol.

Coba kita perhatikan perkalian di bawah ini.

Baca juga : Perpangkatan terkait Pembagian dan Pecahan serta Contoh Soal

5.749 = 5.000 + 700 + 40 + 9

           = 5 × 1.000 + 7 × 100 + 4 × 10 + 9 × 1

           = 5 × 10³ + 7 × 10² + 4 × 10¹ + 9 × 1

Baca juga : Tiga Sifat Perpangkatan terkait Perkalian

Kita lihat urutan pangkatnya. Ada 10³ menunjukkan ribuan, 10² menunjukkan ratusan, 10¹ menunjukkan puluhan.

Pertanyaannya, setelah 10¹ itu apa dan berapa? Ada angka 1 setelah perkalian 10¹. Karenanya, disimpulkan 1 = 10⁰ alias 10 pangkat nol.

Bagaimana penjelasannya? Caranya, gunakan sifat operasi pembagian pada perpangkatan.

Baca juga : Bilangan Berpangkat: Definisi dan Contoh Soal

=2^5-5 = 2⁰

Lantas hitung hasil operasinya.

Baca juga : Konfigurasi Elektron Tentukan Cara Atom-Atom Berikatan

=   

=   = 1

Kesimpulannya, 2⁰ = 1.

Definisi nilai a (pangkat) 0 untuk a bilangan tak nol:

Untuk setiap a bilangan real tak nol, a⁰ bernilai 1

Secara aljabar dapat ditulis kembali yaitu a⁰ = 1 untuk a bilangan real dan a ≠ 0.

2. Bilangan real tidak nol pangkat bulat negatif.

Pahami alur perkalian di bawah ini.

=1 : 2 = 2⁰ : 2¹ = 2^0-1 = 2^-1

Definisi nilai a^-n untuk a bilangan real tak nol dan n bilangan bulat:

Untuk setiap a bilangan real tak nol dan n bilangan bulat, berlaku:

a^-n =   untuk a ≠ 0, a bilangan real, dan n bilangan bulat.

Perlu diketahui, ada beberapa istilah dalam perpangkatan 10 yang sering digunakan. Apa saja itu?

1. Kilo = 1.000 = 10³.
2. Mega = 1.000.000 = 10⁶.
3. Giga = 1.000.000.000 = 10⁹.
4. Tera = 1.000.000.000.000 = 10¹².
5. Mili = 0,001 = 10^-3.
6. Mikro = 0,000001 = 10^-6.
7. Nano = 0,000000001 = 10^-9.
8. Pico = 0,000000000001 = 10^-12.
9. Contoh soal.
10. 2^-3 =  =
11. (2,3)^–3 × (2,3)³ = (2,3)^{–3 + 3} lalu jumlahkan kedua pangkatnya

             = (2,3)⁰ = 1

3.  = (-4) ^6-8 = (-4)^-2 =  =  

Jika y ≠ 0 dan t ≠ 0, sederhanakan perpangkatan berikut.

d. -2 × y⁰ = -2 × 1 = -2

e.  = 4 x t^3-5 = 4 × t-² =

f. Air menetes sia-sia dari suatu kran air karena tidak ditutup dengan benar. Jika air menetes sebanyak 10-3 liter per detik, berapa air yang terbuang selama 10 jam?

Alternatif penyelesaian: Konversi waktu 1 jam menjadi detik.

1 jam x  x   = 3.600 detik

Air yang terbuang sia-sia selama 1 jam:

3.600 detik x 10^-3 liter/detik

= 3.600 x   liter

= 3.600 x  liter

= 3,6 liter

Jadi, air yang terbuang sia-sia selama 10 jam adalah 3,6 liter × 10 = 36 liter. Karena itu, hemat air ya.

3. Bentuk akar.

Ingat kembali materi tentang Teorema Pythagoras yang sudah kalian pelajari di kelas VIII. Perhatikan dengan seksama langkah-langkah aturan Pythagoras berikut ini. 

Rumus umum Teorema Pythagoras: c² = a² + b² atau a²+b²=c².

Akarkan kedua ruas untuk mendapatkan panjang sisi miring segitiga siku-siku: c²=a²+b²

Didapatkan persamaan umum untuk mencari panjang sisi miring segitiga siku-siku: c²=a²+b²

A. Menyederhanakan perkalian bentuk akar.

Jika a dan b bilangan positif, berlaku:

Jika a > 0 dan b > 0, berlaku  

CATATAN!

• Jika a tidak negatif, √a adalah bilangan tidak negatif yang kuadratnya atau (√a)² adalah a.

Jadi, meskipun (–6) × (–6) = 36, nilai dari  ≠ –6, tetapi  = 6, karena nilai akar dari suatu bilangan positif selalu positif.

• Jika a tidak negatif, maka na = b jika hanya jika bⁿ = a dan b tidak negatif.
• Jika a negatif dan n ganjil, maka na = b jika hanya jika bⁿ = a.

B. Contoh soal.

a. Mendapatkan akar kuadrat dari suatu bilangan.

Aira punya selembar kain berbentuk persegi dengan luas 14.400 cm² untuk membuat taplak meja. Untuk mempercantik taplak, Aira akan menambahkan renda di sekeliling taplak. Berapa meter panjang minimal renda yang diperlukan?

Untuk membantu Aira, kita harus mengetahui panjang sisi persegi agar kita dapat menghitung keliling taplak meja tersebut. Misal panjang sisi kain ialah a cm, luas kain tersebut yaitu:

a x a = a² = 14.400

a =  dibaca akar kuadrat dari 14.400.

a = 120.

a = 120 karena 120 × 120 = 14.400 atau 120² = 14.400.

Dengan demikian Aira harus menyediakan renda dengan panjang dengan meghitung keliling.

a + a + a + a = 4 × a = 4 × 120 = 480.

Jadi, panjang minimal renda yang diperlukan ialah 480 cm atau 4,8 m.

b. Mendapatkan akar pangkat n dari suatu bilangan.

Pada persoalan mencari rusuk suatu kubus bila volume diketahui, kita akan berhadapan dengan bentuk akar pangkat tiga. Misalkan diketahui volume suatu kubus ialah 64 cm³, berapakah panjang rusuk kubus tersebut?

Misal panjang rusuk tersebut ialah k, volume kubus atau V yaitu k³.

V = k³ à64 = k³ àk = ∛64

Bagaimanakah kita memperoleh k?

Ingat bahwa 4 × 4 × 4 = 4³ = 64. Dengan demikian 64 = 4

Jadi, panjang rusuk kubus tersebut adalah 4 cm.

c. Contoh lain.

* (–2)⁵ = (–2) × (–2) × (–2) × (–2) × (–2) = –32 sehingga = –2.

* 3 × 3 × 3 × 3 = 81, sehingga  = 3.

d. Jarak pandang pesawat.

Jarak pandang pesawat terbang selama terbang pada kondisi normal dinyatakan dengan .

d adalah jarak pandang dalam meter dan h adalah ketinggian pesawat dalam meter. Jika pengamat berada dalam pesawat yang terbang pada ketinggian 3.600 meter, berapa jarak yang dapat dilihat olehnya?

Diketahui:

ketinggian pesawat = h = 3.600 meter

jarak pandang pesawat = =  = 1,5 × 60 = 90

Jadi, pada ketinggian 3.600 meter jarak pandang pesawat yaitu 90 meter.

e. Sederhanakan bentuk akar berikut.

Demikianlah penjelasan tentang pangkat nol, pangkat bilangan negatif, dan akar. Semoga bermanfaat. (Z-2)